Kuidas lahendada logaritmilisi võrrandeid

Sisu

• etappidel
• Esialgne: teate, kuidas muuta logaritmiline võrrand võimsustega võrrandiks
• 1. meetod Leida x
• 2. meetod Leida x kasutades logaritmi korrutisreeglit
• 3. meetod Leida x kasutades t logaritmi jagatisreeglit

Logaritmilisi võrrandeid pole esmapilgul matemaatikas kõige lihtsam lahendada, kuid neid saab muuta eksponentidega võrranditeks (eksponentsiaalne tähistus). Seega, kui teil õnnestub see teisendus läbi viia ja kui te kaptenite arvutamise jõududega, peaksite sedalaadi võrrandid hõlpsalt lahendama. NB! Mõistet "log" kasutatakse aeg-ajalt "logaritmi" asemel, need on omavahel asendatavad.

etappidel

Esialgne: teate, kuidas muuta logaritmiline võrrand võimsustega võrrandiks

1. 
   

   
   Alustame logaritmi määratlusega. Kui soovite logaritme arvutada, siis teadke, et need pole midagi muud kui eriline viis jõudude väljendamiseks. Alustame logaritmi ühest klassikalisest tingimusest:
   • y = log_b (X)
     • ainult siis, kui: b = x
   • b on logaritmi alus. Peab olema täidetud kaks tingimust:
     • b> 0 (b peab olema rangelt positiivne)
     • b ei tohi olla võrdne 1
   • Eksponentsiaalse märkuse korral (teine ​​võrrand ülal), seal on jõud ja x on niinimetatud eksponentsiaalne avaldis, mille tegelikult väärtust logi otsitakse.

2. 
   

   
   
   
   Jälgige võrrandit tähelepanelikult. Logaritmilise võrrandi taustal peame tuvastama aluse (b), võimsuse (y) ja eksponentsiaalse avaldise (x).
   • näide : 5 = log₄(1024)
     • b = 4
     • y = 5
     • x = 1024

3. 
   

   
   Asetage eksponentsiaalne avaldis võrrandi ühele küljele. Pange näiteks oma väärtus x märgist "=" vasakul.
   • näide : 1024 = ?

4. 
   

   
   Tõstke alus näidatud võimsuseni. Andmebaasile määratud väärtus (b) tuleb ise korrutada nii mitu korda, kui võimsus näitab (seal).
   • näide : 4 x 4 x 4 x 4 x 4 =?
     • Lühidalt öeldes annab see: 4

5. 
   

   
   
   
   Kirjutage oma vastus. Nüüd saate logaritmi ümber kirjutada eksponentsiaalse märkusega. Veenduge, et teie võrdsus on õige, arvutuse uuesti tegemisega.
   • näide : 4 = 1024

1. meetod Leida x

1. 
   

   
   Isoleerige logaritm. Eesmärk on tõepoolest logi esmakordselt lahti võtta. Selleks läbime kõik võrrandi teisel küljel olevad mittelogaritmilised liikmed. Ärge unustage operatiivmärke tagurdada!
   • näide : logi₃(x + 5) + 6 = 10
     • Logi₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
     • Logi₃(x + 5) = 4

2. 
   

   
   Kirjutage võrrand eksponentsiaalsel kujul. "X" leidmiseks peate minema logaritmilisest märkimisest eksponentsiaalsele märkele, viimast on lihtsam lahendada.
   • näide : logi₃(x + 5) = 4
     • Alustades teoreetilisest võrrandist y = log_b (X)], rakendage seda meie näitele: y = 4; b = 3; x = x + 5
     • Kirjutage võrrand järgmiselt: b = x
     • Siit saame: 3 = x + 5

3. 
   

   
   leidma x. Nüüd seisate silmitsi esimese astme võrrandiga, mida on lihtne lahendada. See võiks olla teine ​​või kolmas aste.
   • näide : 3 = x + 5
     • (3) (3) (3) (3) = x + 5
     • 81 = x + 5
     • 81 - 5 = x + 5 - 5
     • 76 = x

4. 
   

   
   Sisestage oma lõplik vastus. "X" jaoks leitud väärtus on vastus teie logaritmilisele võrrandile: log₃(x + 5) = 4.
   • näide : x = 76

2. meetod Leida x kasutades logaritmi korrutisreeglit

1. 
   

   
   Peate teadma palkide korrutamise (korrutamise) reeglit. Palkide esimese omaduse järgi, mis puudutab palkide (sama aluse saatja!) Toodet, võrdub toote logi toote elementide palkide summaga. Illustratsioon:
   • Logi_b(m x n) = log_b(m) + log_b(N)
   • Peab olema täidetud kaks tingimust:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Eraldage võrrandi ühel küljel olevad logid. Eesmärk on tõepoolest algul palgid lahti võtta. Selleks läbime kõik võrrandi teisel küljel olevad mittelogaritmilised liikmed. Ärge unustage operatiivmärke tagurdada!
   • näide : logi₄(x + 6) = 2 - logi₄(X)
     • Logi₄(x + 6) + logi₄(x) = 2 - log₄(x) + log₄(X)
     • Logi₄(x + 6) + logi₄(x) = 2

3. 
   

   
   Rakendage palkide toote kohta reeglit. Siin rakendame seda vastupidises suunas, nimelt nii, et logide summa on võrdne toote logiga. Mis annab meile:
   • näide : logi₄(x + 6) + logi₄(x) = 2
     • Logi₄ = 2
     • Logi₄(x + 6x) = 2

4. 
   

   
   Kirjutage võrrand võimsustega. Tuletame meelde, et logaritmilise võrrandi saab muuta eksponentidega võrrandiks. Nagu varem, liigume probleemi lahendamiseks eksponentsiaalse märkuse juurde.
   • näide : logi₄(x + 6x) = 2
     • Alustades teoreetilisest võrrandist, rakendame seda oma näites: y = 2; b = 4; x = x + 6x
     • Kirjutage võrrand järgmiselt: b = x
     • 4 = x + 6x

5. 
   

   
   leidma x. Nüüd seisate silmitsi teise astme võrrandiga, mida on lihtne lahendada.
   • näide : 4 = x + 6x
     • (4) (4) = x + 6x
     • 16 = x + 6x
     • 16–16 = x + 6x – 16
     • 0 = x + 6x - 16
     • 0 = (x - 2) (x + 8)
     • x = 2; x = -8

6. 
   

   
   Kirjutage oma vastus. Sageli on meil kaks vastust (juured). Kui need kaks väärtust sobivad, tuleks seda kontrollida lähtevõrrandis. Tõepoolest, me ei saa arvutada negatiivse arvu logi! Sisestage ainus kehtiv vastus.
   • näide : x = 2
   • Me ei mäleta seda kunagi piisavalt: negatiivse numbri logi ei eksisteeri, seega võite siin vallandada - 8 lahendusena. Kui võtaksime vastuseks -8, oleks põhivõrrandis järgmine: log₄(-8 + 6) = 2 - logi₄(-8), st logi₄(-2) = 2 - log₄(-8). Negatiivse väärtuse logi ei saa arvutada!

3. meetod Leida x kasutades t logaritmi jagatisreeglit

1. 
   

   
   Peate teadma reeglit, mis puudutab logide jagamist. Palkide teise omaduse järgi, mis puudutab palkide (sama baassaatja!) Jagamist, võrdub koefitsiendi logi jagaja ja nimetaja logi vahega jagatis. Illustratsioon:
   • Logi_b(m / n) = log_b(m) - logi_b(N)
   • Peab olema täidetud kaks tingimust:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Eraldage võrrandi ühel küljel olevad logid. Eesmärk on tõepoolest algul palgid lahti võtta. Selleks läbime kõik võrrandi teisel küljel olevad mittelogaritmilised liikmed. Ärge unustage operatiivmärke tagurdada!
   • näide : logi₃(x + 6) = 2 + log₃(x - 2)
     • Logi₃(x + 6) - logi₃(x - 2) = 2 + log₃(x - 2) - logi₃(x - 2)
     • Logi₃(x + 6) - logi₃(x - 2) = 2

3. 
   

   
   Rakendage logijaotuse reeglit. Siin rakendame seda vastupidises suunas, nimelt et logide erinevus on võrdne jagatise logiga. Mis annab meile:
   • näide : logi₃(x + 6) - logi₃(x - 2) = 2
     • Logi₃ = 2

4. 
   

   
   Kirjutage võrrand võimsustega. Tuletame meelde, et logaritmilise võrrandi saab muuta eksponentidega võrrandiks. Nagu varem, liigume probleemi lahendamiseks eksponentsiaalse märkuse juurde.
   • näide : logi₃ = 2
     • Alustades teoreetilisest võrrandist, rakendame seda oma näites: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
     • Kirjutage võrrand järgmiselt: b = x
     • 3 = (x + 6) / (x - 2)

5. 
   

   
   leidma x. Nüüd, kui enam pole logisid, vaid volitused, peaksite selle hõlpsalt leidma x.
   • näide : 3 = (x + 6) / (x - 2)
     • (3) (3) = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 (x - 2) = (x - 2) & mdash; me korrutame mõlemad pooled (x - 2)
     • 9x - 18 = x + 6
     • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
     • 8x = 24
     • 8x / 8 = 24/8
     • x = 3

6. 
   

   
   Sisestage oma lõplik vastus. Võtke oma arvutused tagasi ja kontrollige. Kui olete oma vastuses kindel, kirjutage see lõplikult üles.
   • näide : x = 3